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网易企业邮箱,人类第一次将33写成了3个整数的立方和,髋关节

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作者,数学西瓜,哆嗒数学网群友。

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公元2019年3g7052月的一天,一位叫Tim Browning(与Timothy Browning是同一人)的数学家在其个人主页上更新了一个网页,网页上的内容十分简略,没有任何剩余的东西:

33 = 8866128975287528 + (-8778405442862239) + (-2736马伦威斯111468807040)

上面的算式是将自然数33用整数的立方和表明了出来。可是,或许出乎你意料idols69的是,这是人类第一次知道,人间还存在着这样一个等式,第一次——咱们第一次把33用这种方法写了出来!

为什么咱们对这样一个等式如此入神,让咱们一同看下去。

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余士新

缔造房子式的“堆垒数论”

咱们知道咱们茅草堆垒出来能缔造茅屋、砖石堆垒起来能缔造砖房、钢筋混凝土堆垒起来能缔造高楼大厦。

现在许多高楼大厦都是钢筋混凝土修建的,可是是不是一切的高楼大厦都能够由钢筋混凝土来修建呢?

这其实便是“堆垒数论”的思维。咱们用简略的语言表达这个堆垒数论考虑的问题,假如考虑A、B两个整数的子集。假如A中的数都能被B中的某几个数相加得到,咱们就说A能被B堆垒出来。大多时分,咱们还要约束运用B中数字个数的数量。这时分,所运用的B中的数叫做堆垒项。

举几个比方:

假如A是一切不小于6的偶数调集,B是素数调集,并约束只能用2个B中的数。那么问题便是闻名的哥德巴赫猜测。

假如A是自然数调集,B一切彻底平方数调集smgay,并约束只能用2个B中的数。自然数的能不能写成两个数平方和问题。

假如A是自然数调集,B一切彻底平方数调集,并约束只能用3个B中的数。自然数能不能写成三个数平方和问题。

以此类推……

有时分,咱们还能够反过来研讨,比方,假如一切自然数都能被B中的数加出来,那么多少个数之内必定能办到?

咱们用233来举比方把:

下面这些正整数方程是否有解呢:

233 = x + y

233 = x + y + z

233 = x + y + z + w

233 = x + y + z + u + v

以上方程中的一切未知数位置是相同的,咱们把那种通过交流次序能变得相同的解当作相同的解能够得到:

第一个方程,有一组解:

233 = 8 + 13

第二个方程,有两组解:

233 = 1 + 6 + 14

第三个方程,有三组解:

233 = 2 + 6 + 7 +网易企业邮箱,人类第一次将33写成了3个整数的立方和,髋关节12

233 = 3 + 4 + 8 +12

233 = 4 + 6 + 9 +10

第四个方程,有一组解

233 = 2 + 4 + 7 +8 +10

在第三个方碳氢油项目是否实在程的正整数解中,咱们能够看出能够呈现相同的元素12;

关于第四个方程有一则小故事,依据迪克逊的《数论史》(History of the Theory of Numbers)记载。186张小盒巧战僵尸7年,史密斯(H. J. S. Smith)开端推行表为5个,7个平方数的成果。一位不为人知的委员会成员曾向巴黎科学院主张举行1882年的数学科学大奖(grand prix des science mathmatiques)赛标题为“表为5个平方数的方法数”。实际上1881年春天就发布了布告赏格这个问题,后来才将其作为赛题。史密斯和闵可夫斯基(H. Minkowski)(值得注意的是,闵可夫斯基其时才18岁)都取得了该大赛的全额奖金。他们俩都开展了n元二次型理论来求出表为5个平方数的方法数。

诱人的平方和

上面第一个方程为费马双平方和定理(Fermat's two-square theorem)的一个特例。费马仍是“一刘强东性侵如既往地”只写出题不给证明,这个出题也相同。这个出题最早被欧拉证明的。费马的这一出题即给出了一切4n+1型的素数都能够仅有地分化为两个平方数之和(至于怎么求其仅有表明能够参看西尔弗曼的《数岳子豪论概论》第26章)。那么其他数呢?

有下面一个定理:

一个大于1的整数能够写成两个平方整数之和,当且仅当的它的规范素数分化中不包括4n+3型素数或许4n+3型素数是偶次。

比方637 = 713有两个素因子7与13,抽身张晓光而是4n+1型,而7模4n+3,但素数7的次数为偶数2,故637 能够表明为两个平方数之和。实际上,637 = 14+21。

关于平方,咱们还有勒让德三平方和定理(Legendre's three-square theorem):

整数能够写成三个整数的平方和(即答应堆垒项为零),当且仅当的它不为4^a(8b+7)型的数。(其间,4^a表明4的a次方,a与b都取自然数)

值得注意的是这儿用的是“三个整数的平方和”与双平方和景象的描绘有所不同。

勒让德的这必定理能够写为等价方式:

整数能够写成少于四个平方数之和(默许平方数从1开端),当且仅当的它不为4^a(8b+7)型的数。(其间,4^a扛旗张峰表明4的a次方,a与b都取自然数)

关于平方数且时,有拉格朗日四平方和定理(Lagrange's four-square theorem)

每一个自然数能够写成四个整数的平方和(即答应堆垒项为零)。

咱们不该该去纠结于当需求表明的数比较小时(比方取5、6金大人的梦,堆垒项总有零呈现球场舞者),四个整数中会呈现零。咱们应该看到当需求表明的数为很大很大的整数时,都能够由四个平方数来表明,就像再凶猛的野马(大整数)都能够被这位驯马师(拉格朗日四平方和定理)征服,这便便是此定理的重要意义。

华林问题

什么是华林问题呢?

1770年,英国其时的首领数学家华林(Waring)(别由于音译名将其当作华人)在其《代数深思录》(Meditationes Algebraicae)第二版中说到一句话:

每一个正整数能够写成4个整数的平方和(即答应堆垒项为零);能够写成9个正整数的立方和,能够写成19个整数的四次方和,如此等等。

当然这句话的一部分便是拉格朗日的定理,第二部分是华林通过很多数值实验得出的猜测,第三部分也是他得出的猜测。

关于每一个给定的正整数k,存在一个最小的正整数g(k),使得每一个自然数都能够写成不超越g(k)个整数的k次方和。

其间求g(k)的问题便是华林问题。通过上面关于平方数的介绍,咱们知道了g(2) = 4。

1909年,德国数学家韦伊费列治(Wieferich)证明了g(3) = 9;后发现缝隙,于1912年由生于英国网易企业邮箱,人类第一次将33写成了3个整数的立方和,髋关节的美国数学家肯普纳(Kempner)补正;

1940年,印度数学家皮莱(Pillai)证明了g(6) = 73;

1964年,我国数学家陈景润证明了g(5) = 37;

1986年,三位数学巴拉苏布拉玛尼安(Ramachandran Balasubramanian)、德雷斯(F. Dress)和德西霍勒(Deshouillers)证明了g(4)=19;

再回来,整数立方和还有42

好了,回到咱们开始的问题:自然数的整数立方和表明。在k=3时的华林问题中,咱们知道每一个正整数都能够为不超越9个正整数的立方和;

假如将前面华林问题的堆垒项只答应用加法的条件铺开,咱们答应用减法,是什么状况呢?——这个问题其实便是简易华林问题——不要由于其命名为“简易华林问题”就觉得其比“华林问题”简略。

而将正整数表明成三个整数立方和的问题,便是堆垒项约束为3的简易问题。现在这个问题依然是异界之九转龙象功没有处理的问题。

咱们用v(k)表明满意相应条件最小的正整数,即对应于华林问题中的g(k).

1932年,V. Vesely证明了v(k)存在。

接着赖特(E. M. Wright)于1934年得到一个粗糙的估量:(此估量不等式的证明能够参看陈景润写的《初等数论Ⅲ》132页的内容)

v(k)≤2^(k+1) + k!/2

不久,赖特又对其改善,符号比较专业就不胪陈了。

再后来赖特还得到了v(k)≤2^(k+1) +4k,并研讨了详细值。

1936年,莫德尔(Mordell)证明了除很少一部分数不能确认外,大部分整都合适v(3三翁坊汗颜时间) = 4.

我国数学家柯召曾列出一张表,将100以内的数分化为4个立方数之和,表中简直每一个数均可分化为x+y+2z的方式,仅有两个破例

76 = 10+7+4-11,

99 = 5+3-1

柯召教授这样做的意图或许是为了阐明v(3)=4是正确的,可是这只是只能作为一些数值实验。

2003年,科学出书社出书了中文版的《数论中未处理的问题(第二版)》。其作者是为盖伊(1916年9月30日~)现在现已102岁高龄了。

在《数论中未处理的问题(第二版)》的第D章(该书编写了A~F章节)的D5问题中,说到除了形如9n4数姑且不知道定论,关于一切其他的数都证明了是4个整数的立方和。

了解同余的小伙伴们,能够做下核算,任何整数的立方在mod 9 的状况下只要-1,0,1三种或许。所以 x + y + z 在mod 9 的状况下,只要0,1,2,3这7种或许,而4是不或许的。

所以形如9n4数必定不能表明为三个整数的立方和。由此咱们也能够知道v(3)>3,也便是说一切自然数不能仅由三个整数的立方和表明。可是退而求其次,哪些数能够由三个立方数表明呢?数学家们期望有像“费马双平方和定理”、“勒让德三平方和定理”这样的定理来引导人们,可是现在为止还没有。

接下来咱们要步入主题了!

一切不为9n4型的数都是三个整数的立方和吗?盖伊书中写道:1992年,他对一切小于1000的数用核算机查找后发现,除了下面(标红部分截止2019年3月都还没有被处理)表中的数以外,关于其他小于1000的数都找到了这样的表明。

在1993年5月25日的一封电子邮件中,Andrew Bremner通知盖伊有:

75 = 435203083+(-435203231)+4381159

Conn和Vaserstein发现了

84 = 41639611+(-41531726)+(-8241191)

后来人们找到了(上表标黄部分)

30=(-2暮霭凝香网易企业邮箱,人类第一次将33写成了3个整数的立方和,髋关节83059965)+(-2218888517)+2220422932

52网易企业邮箱,人类第一次将33写成了3个整数的立方和,髋关节=60702901317+23961292454+(-61922712865)

110=109938919+16540290030+(-16540291649)

195=(-2238006277)+(-5087472163)+5227922915

290=426417007+2070897315+(-2076906362)

435=4460467+(-4078175)+(-2755337)

444=3460795+14820289+(-14882930)

452=(-2267462975)+(-3041790413)+3414300774

462=1933609+(-1832411)+(-1024946)

478=(-1368722)+(-13434503)+13439237

2007年,Michael Beck, Eric Pine,Wayne Tarrant与Kim Yarbrough Jensen这四位数学家的论文指出小于1000的数还没有找到解的剩余:

33, 42, 74, 114, 156, 165, 318, 366, 390, 420, 543, 579, 609, 627, 633, 732, 758, 786, 789, 795, 903, 906 ,921, 948, 975

2016年,Sander G. Huisman指出小于1000的数还没有找到解的就剩:

33, 42, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975

最近,由Booker Andrew提交了一篇论文"Cracking the problem with 33",论文中找到33这个文章最初的成果,由Browning公之于众。咱们能够看到每个元素都是10的16次方的数量级,要读出来应该快读到亿亿位了!

别的在数学节目Numberphile中,Timothy Browning做了一期名为“The Uncracked Problem with 33”的问题介绍,惋惜现在没有中文字幕。能够从论文"Cracking the problem with 33"的摘要与论网易企业邮箱,人类第一次将33写成了3个整数的立方和,髋关节文标题看出Andrew Booker写这篇论文正是源于该视频。

也便是说到现在为止,100以内的自然数就剩余42还没有找到关于立方和的整数解了!

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